Золотое сечение



РУБРИКИ	Золотое сечение	РЕКЛАМА

Главная

Зоология

Инвестиции

Информатика

Искусство и культура

Исторические личности

Безопасность жизнедеятельности

Бизнес-план

Биология

Бухучет управленчучет

Водоснабжение водоотведение

Военная кафедра

География экономическая география

Законодательство и право

Здоровье

Земельное право

Иностранные языки лингвистика

ПОИСК

Золотое сечение

Владивостокское художественное училище

РЕФЕРАТ

на тему: «Золотое сечение»

Выполнила: Миронова С.Д.

Группа: 1-1

Принял:

Владивосток

2000

Содержание

| Введение………………………………………………………………………………… | 3 |

|2. Золотое сечение – гармоническая пропорция………………………………………… |4 |

|3. Второе золотое сечение………………………………………………………………… |5 |

|4. Золотой треугольник (пентаграмма)...………………………………………………… |6 |

|5. История золотого сечения……………………………………………………………… |8 |

|6. Ряд Фибоначчи………………………………………………………………………….. |12 |

|7. Обобщенное золотое сечение………………………………………………………….. |13 |

|8. Принципы формообразования в природе……………………………………………... |15 |

|9. Золотое сечение и симметрия………………………………………………………….. |17 |

|10. Разгадка тайны золотого |18 |

|сечения.............................................................|20 |

|..................... |21 |

|11. Золотое сечение в скульптуре………………………………………………………… |23 |

|12. Золотое сечение в архитектуре……………………………………………………….. | |

|13. Золотое сечение в живописи. Золотая спираль……………………………………… |27 |

|14. "Необходимо прекрасному зданию быть построенным |29 |

|подобно хорошо сложенному человеку" (Павел Флоренский)…………………… |33 |

|15. Закономерности построения пространственной композиции | |

|парка………………. | |

|Литература..........................................................| |

|............................................................. | |

Введение

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме

какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а

может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат

сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному

восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из

частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к

другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного

и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке,

технике и природе.

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет

определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые

зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина -

горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены

они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

[pic]

Данное открытие у художников того времени получило название "золотое

сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному

элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из

зрительных центров.

2. Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух

отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;

на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не

образуют);

таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и

среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на

неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как

сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший

отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или

с : b = b : а.

[pic]

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка

прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

[pic]

Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная

точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается

отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ.

Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой

пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью

AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических

целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ

принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38

частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x2 – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

[pic]

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический

ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

3. Второе золотое сечение

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью

Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из

основного сечения и дает другое отношение 44 : 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при

построении композиций изображений удлиненного горизонтального

формата.

| | |Деление осуществляется |

|[pic] | |следующим образом. Отрезок АВ |

| | |делится в пропорции золотого |

|Рис. 3. Построение второго золотого | |сечения. Из точки С |

|сечения | |восставляется перпендикуляр |

| | |СD. Радиусом АВ находится |

| | |точка D, которая соединяется |

| | |линией с точкой А. Прямой угол|

| | |АСD делится пополам. Из точки |

| | |С проводится линия до |

| | |пересечения с линией AD. Точка|

| | |Е делит отрезок AD в отношении|

| | |56 : 44. |

| | | |

|[pic] | | |

|Рис. 3.1. Деление прямоугольника | | |

|линией второго золотого сечения | | |

| | | |

|На рисунке показано положение линии | | |

|второго золотого сечения. Она | | |

|находится посередине между линией | | |

|золотого сечения и средней линией | | |

|прямоугольника. | | |

| | | |

|4. Золотой треугольник | | |

| | | |

|Замечательный пример «золотого | | |

|сечения» представляет собой | | |

|правильный пятиугольник – выпуклый и | | |

|звездчатый (рис. 4). | | |

|[pic] | | |

|Из подобия треугольников ACD и ABE | | |

|можем вывести уже известную | | |

|пропорцию: | | |

|[pic] | | |

|Таким образом, звездчатый | | |

|пятиугольник также обладает «золотым | | |

|сечением». Интересно, что внутри | | |

|пятиугольника можно продолжить | | |

|строить пятиугольники, и это | | |

|отношение будет сохраняться. | | |

|Звездчатый пятиугольник называется | | |

|пентаграммой. Пифагорейцы выбрали | | |

|пятиконечную звезду в качестве | | |

|талисмана, она считалась символом | | |

|здоровья и служила опознавательным | | |

|знаком. | | |

|Бытует легенда о том, что один из | | |

|пифагорейцев больным попал в дом к | | |

|незнакомым людям. Они старались его | | |

|выходить, но болезнь не отступала. Не| | |

|имея средств заплатить за лечение и | | |

|уход, больной перед смертью попросил | | |

|хозяина дома нарисовать у входа | | |

|пятиконечную звезду, объяснив, что по| | |

|этому знаку найдутся люди, которые | | |

|вознаградят его. И на самом деле, | | |

|через некоторое время один из | | |

|путешествующих пифагорейцев заметил | | |

|звезду и стал расспрашивать хозяина | | |

|дома о том, каким образом она | | |

|появились у входа. После рассказа | | |

|хозяина гость щедро вознаградил его. | | |

|Пентаграмма была хорошо известна и в | | |

|Древнем Египте. Но непосредственно | | |

|как эмблема здоровья она была принята| | |

|лишь в Древней Греции. | | |

|В настоящее время существует | | |

|гипотеза, что пентаграмма – первичное| | |

|понятие, а «золотое сечение» | | |

|вторично. Пентаграмму никто не | | |

|изобретал, ее только скопировали с | | |

|натуры. Вид пятиконечной звезды имеют| | |

|пяти-лепестковые цветы плодовых | | |

|деревьев и кустарников, морские | | |

|звезды. Те и другие создания природы | | |

|человек наблюдает уже тысячи лет. | | |

|Поэтому естественно предположить, что| | |

|геометрический образ этих объектов – | | |

|пентаграмма – стала известна раньше, | | |

|чем «золотая» пропорция. | | |

| | | |

|Для нахождения отрезков золотой | | |

|пропорции восходящего и нисходящего | | |

|рядов можно пользоваться | | |

|пентаграммой. | | |

|[pic] | | |

|Рис. 5. Построение правильного | | |

|пятиугольника и пентаграммы | | |

|Для построения пентаграммы необходимо| | |

|построить правильный пятиугольник. | | |

|Способ его построения разработал | | |

|немецкий живописец и график Альбрехт | | |

|Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр | | |

|окружности, A – точка на окружности и| | |

|Е – середина отрезка ОА. | | |

|Перпендикуляр к радиусу ОА, | | |

|восставленный в точке О, пересекается| | |

|с окружностью в точке D. Пользуясь | | |

|циркулем, отложим на диаметре отрезок| | |

|CE = ED. Длина стороны вписанного в | | |

|окружность правильного пятиугольника | | |

|равна DC. Откладываем на окружности | | |

|отрезки DC и получим пять точек для | | |

|начертания правильного пятиугольника.| | |

|Соединяем углы пятиугольника через | | |

|один диагоналями и получаем | | |

|пентаграмму. Все диагонали | | |

|пятиугольника делят друг друга на | | |

|отрезки, связанные между собой | | |

|золотой пропорцией. | | |

|Каждый конец пятиугольной звезды | | |

|представляет собой золотой | | |

|треугольник. Его стороны образуют | | |

|угол 36° при вершине, а основание, | | |

|отложенное на боковую сторону, делит | | |

|ее в пропорции золотого | | |

|сечения. | | |

|[pic] | |Проводим прямую АВ. От точки А|

|Рис. 6. Построение золотого | |откладываем на ней три раза |

|треугольника | |отрезок О произвольной |

| | |величины, через полученную |

| | |точку Р проводим перпендикуляр|

| | |к линии АВ, на перпендикуляре |

| | |вправо и влево от точки Р |

| | |откладываем отрезки О. |

| | |Полученные точки d и d1 |

| | |соединяем прямыми с точкой А. |

| | |Отрезок dd1 откладываем на |

| | |линию Ad1, получая точку С. |

| | |Она разделила линию Ad1 в |

| | |пропорции золотого сечения. |

| | |Линиями Ad1 и dd1 пользуются |

| | |для построения «золотого» |

| | |прямоугольника. |

| | | |

|5. История золотого сечения |

| |

|Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход|

|Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть |

|предположение, что Пифагор свое знание золотого деления |

|позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции |

|пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из |

|гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера |

|пользовались соотношениями золотого деления при их создании. |

|Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма |

|фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, |

|пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий |

|Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его |

|имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых |

|зафиксированы пропорции золотого деления. |

|Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей|

|при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого |

|квадрата были основанием для построения динамических |

|прямоугольников. |

|[pic] |

|Рис. 7. Динамические прямоугольники |

|Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его |

|диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям |

|школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. |

|В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые |

|пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми |

|пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском |

|циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.|

| |

|[pic] |

|Рис. 8. Античный циркуль золотого сечения |

|В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые |

|упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается |

|геометрическое построение золотого деления После Евклида |

|исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), |

|Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением |

|познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик |

|Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. |

|Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой |

|тайне. Они были известны только посвященным. |

|В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди |

|ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и|

|в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и |

|ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт |

|большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по |

|геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и |

|Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков |

|науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком |

|Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником|

|художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из |

|которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом |

|начертательной геометрии. |

|Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г|

|по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции |

|по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо|

|да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли |

|«Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, |

|ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была |

|восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств |

|золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее |

|«божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын,|

|бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть |

|олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок|

|– бога духа святого). |

|Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого |

|деления. Он производил сечения стереометрического тела, |

|образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал |

|прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он |

|дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до |

|сих пор как самое популярное. |

|В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами |

|трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому |

|варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот,|

|кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. |

|Это я и вознамерился сделать». |

|Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во |

|время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает |

|теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе |

|соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в |

|золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через |

|кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и |

|т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера. |

|Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из|

|сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой |

|пропорции для ботаники (рост растений и их строение). |

|Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена |

|она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой |

|пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, |

|если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция |

|сохраняется до бесконечности». |

|Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в |

|сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения |

|(нисходящий ряд). |

|Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом |

|откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем |

|шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего |

|рядов: |

| |

|[pic] |

|Рис. 9. Построение шкалы отрезков золотой пропорции |

| |

|В последующие века правило золотой пропорции превратилось в |

|академический канон и, когда со временем в искусстве началась |

|борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой |

|выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в |

|середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения |

|профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические |

|исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было |

|неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает |

|явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он |

|абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее |

|универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга |

|были многочисленные последователи, но были и противники, которые |

|объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой». |

|[pic] |

|Рис. 10. Золотые пропорции в частях тела человека |

| |

| | |Цейзинг проделал колоссальную |

|[pic] | |работу. Он измерил около двух |

|Рис. 11. Золотые пропорции в | |тысяч человеческих тел и пришел|

|фигуре человека | |к выводу, что золотое сечение |

| | |выражает средний статистический|

| | |закон. Деление тела точкой пупа|

| | |– важнейший показатель золотого|

| | |сечения. Пропорции мужского |

| | |тела колеблются в пределах |

| | |среднего отношения 13 : 8 = |

| | |1,625 и несколько ближе |

| | |подходят к золотому сечению, |

| | |чем пропорции женского тела, в |

| | |отношении которого среднее |

| | |значение пропорции выражается в|

| | |соотношении 8 : 5 = 1,6. У |

| | |новорожденного пропорция |

| | |составляет отношение 1 : 1, к |

| | |13 годам она равна 1,6, а к 21 |

| | |году равняется мужской. |

| | |Пропорции золотого сечения |

| | |проявляются и в отношении |

| | |других частей тела – длина |

| | |плеча, предплечья и кисти, |

| | |кисти и пальцев и т.д. |

| | | |

|т.д. | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

|Месяцы |0|1|2|3|4|5|6|7 |8 |9 |10|11|12 |и т.д. |

|Пары кроликов |0|1|1|2|3|5|8|13|21|34|55|89|144 |и т.д. |

| | | | | | | | | | | | | | | |

|2, 3, 5, 8, 13, 21,| | | | | | | | | | | | | | |

|34, 55 и т.д. | | | | | | | | | | | | | | |

|5; 3 + 5 = 8; 5 + 8| | | | | | | | | | | | | | |

|= 13, 8 + 13 = 21; | | | | | | | | | | | | | | |

|13 + 21 = 34 и | | | | | | | | | | | | | | |

|21 : 34 = 0,617, а | | | | | | | | | | | | | | |

|34 : 55 = 0,618. | | | | | | | | | | | | | | |

|0,618 : 0,382 – | | | | | | | | | | | | | | |

|4, 8, 16... | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

|1, 2, 3, 5, 8) и | | | | | | | | | | | | | | |

|1, 2, 4, 8, 16... | | | | | | | | | | | | | | |

|1; 4 = 2 + 2..., во| | | | | | | | | | | | | | |

|= 2 + 1, 5 = 3 + | | | | | | | | | | | | | | |

Страницы: 1, 2