Методы решения уравнений в странах древнего мира

Методы решения уравнений в странах древнего мира

Методы решения уравнений в странах древнего мира.

История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи,

связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория

уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения

(«фальфивое правило»)

Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к

виду ах + Ь == с, в котором а, Ь, с — целые числа. По правилам

арифметических действий ах = с — b,

[pic]

Если Ь > с, то с — b число отрицательное. Отрицательные числа были

египтянам и многим другим более поздним народам неизвестны (равноправно с

положительными числами их стали употреблять в математике только в

семнадцатом веке).

Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени,

был изобретен метод ложного положения.

В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них

позволяет понять, как рассуждал автор.

Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до

недавнего прошлого читали «хау» и переводили словом «куча» («куча» или

«неизвестное количество» единиц). Теперь читают немного менее неточно:

«ага».

bqt задача № 24 сборника Ахмеса:

«Куча. Ее седьмая часть ('подразумевается: «дают в сумме») 19. Найти

кучу».

Запись задачи нашими знаками:

[pic]

Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих

четырех столбцах:

[pic]

Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова: «Делай как

делается», другими словами: «Делай, как люди делают».

Смысл решения Ахмеса легко понять.

Делается предположение, что. куча есть 7; тогда [pic] ее часть есть 1.

Это записано в первом столбце.

Во втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и ее [pic]

часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор, в уме

очевидно, прикидывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как

тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит перед числом две точки

для обозначения удвоения первоначального предположения и отмечает значком

(у нас — звездочкой) результат; для получения в сумме 19 первоначальное

предположение надо умножить -на 2 с некоторым добавлением, так как для

получения точного результата, 19, не хватает еще 19—16=3. Ахмес находит

[pic] от 8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на [pic]

предположение умножить нельзя. Но [pic] от 8 есть 2, [pic] от восьми 1.

Ахмес видит, что [pic] и [pic] первоначального результата дают точно те 3

единицы, которых не хватало. Отметив [pic] и [pic] значками, Ахмес

убедился, что первоначальное предположение для кучи (7) надо помножить на

[pic]

Умножение числа 7 на смешанное число [pic] Ахмес заменяет умножением

смешанного числа [pic] на 7. В третьем столбце выписаны: [pic] часть

искомой кучи есть [pic], удвоенное это число: [pic] и учетверенное: [pic].

Сумма этих трех чисел, равная числу [pic], есть произведение

первоначального предположения 7 на [pic].

Итак, куча равна [pic].

В последнем столбце Ахмес делает проверку, складывая полученное значение

для кучи [pic] и его [pic] части [pic]. В сумме получается 19, и решение

заканчивается обычным для автора заключением: «Будет хорошо».

Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного

положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах == b. Его

применяли как египтяне, так и вавилоняне.

У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот

метод был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники

европейских народов, в том числе в «Арифметику» Магницкого. Магницкий

называет способ решения «фальшивым правилом» и пишет о части своей книги,

излагающей этот метод:

Зело бо хитра есть сия часть,

Яко можеши ею все

класть (вычислить. — И. Д.)

Не токмо что есть во гражданстве,

Но и высших наук в пространстве,

Яже числятся в сфере

неба,

Якоже мудрым есть потреба.

Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть

арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что

понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие», которые

встают перед «мудрыми».

Магницкий пользуется «фальшивым правилом» в форме, какую ему придали

арабы, называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов».

Квадратные уравнения в Древнем

Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще

в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с

нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного

характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные

уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя

современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных

текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные

уравнения:

[pic]

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах,

совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли

вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные

тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без

указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, • в клинописных

текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения

квадратных уравнений.

. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения ,

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в

ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и

решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает

неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что

искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение

равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины

их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними

2х. Отсюда уравнение

[pic]

или же

[pic]

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = —2 для

Диофанта не существует, так как греческая математика знала только

положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых

чисел, то мы придем к решению уравнения

[pic]

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность искомых чисел,

Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного

квадратного уравнения (1).

Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на уравнения встречаются уже в астрономическом трактате

«Ариабхаттаим», составленном в 449 г. индийским математиком и астрономом

Арибхаттой. Но это уже раннее средневековье.

В Алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных и

квадратных уравнений.

Индий учёные знали решения неопределённых уравнений в целых числах (в том

числе и в отрицательных, чего сам Диофант избегал).

Формула решений квадратного

уравнения.

Греческий математик Герон (I или II век нашего летоисчисления) вывел

формулу для решения квадратного равнения ax2 + bx = c умножением всех

членов на а и

прибавлением к обеим половинам уравнения [pic] :

[pic]

В индии пришли к более простому способу вывода, который встречается в

школьных учебниках: они умножали на 4a и к обеим половинам по b2. Это даёт:

[pic]

Индийские математики часто давали задачи в стихах.

Задача о лотосе.

Над озером тихим, с полмеры над водой,

Был виден лотоса цвет.

Он рос одиноко, и ветер волной

Нагнул его в сторону – и уж нет

Цветка над водой.

Нашёл его глаз рыбака

В двух мерах от места, где рос.

Сколько озера здесь вода глубока?

Тебе предложу я вопрос.

Ответ:[pic]

Из истории решения системы уравнений, содержащей одно уравнение второй

степени и одно линейное

В древневавилонских текстах, написанных в III—II тысячелетиях до н. э.,

содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в

которые входят и уравнения второй степени. Вот одна из них.

. «Площади двух своих квадратов я сложил: [pic].Сторона второго квадрата

равна [pic] стороны первого и еще 5».

Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:

[pic]

Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у в

квадрат и согласно формуле квадрата суммы, которая ему, видимо, была

известна, получает:

[pic]

Подставляя это значение у в первое из системы уравнений (1), автор

приходит к квадратному уравнению:

[pic]

Решая это уравнение по правилу, применяемому нами в настоящее время,

автор находит х, после чего определяет у. Итак, хотя вавилоняне и не имели

алгебраической символики, они решали задачи алгебраическим методом.

Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал

немало усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести решение

системы к решению одного уравнения. Вот один пример из его «Арифметики».

Задача 21. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их

квадратов — 208».

Эту задачу мы решили бы путем составления системы уравнений:

[pic]

Диофант же, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых

чисел, получает (в современных обозначениях):

[pic]

Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из другого (все это Диофант

производит устно), получаем

x = 2 + 10; у = 10 —2.

Далее,

х2 + у2 = (г + lO)2 + (10 — г)2 == 2z2 + 200.

Таким образом,

2z2 + 200 = 208,

откуда

z = 2; х = 2 + 10 = 12; у = 10 — 2 = 8.

Диофантовы уравнения.

Задача Диофанта №80 (Из II книги его «Арифметики»)

Найти 2 таких числа, чтобы сумма квадрата каждого из них с другим искомым

числом дала полный квадрат,

Решение Диофанта

Пусть первое число (I) будет s. Чтобы квадрат его •при прибавлении

второго числа дал квадрат, второе число должно быть 2s + 1, так как в таком

случае выполняется требование задачи: квадрат первого числа. сложенный со

вторым, дает

s2 + 2s + 1, то есть полный квадрат (s + 1)2.

Квадрат второго числа, сложенный с первым, должен также дать квадрат, то

есть число (2s + I)2 + s, равное

4s2 + 5s + 1 == t2

Положим, что t = 2s — 2; тогда t2 = 4s2 — 8s + 4. Это выражение должно

равняться 4s2 + 5s + 1. Итак, должно быть:

4s2 — 8s + 4 == 4s2 + 5s + l откуда s=[pic]

Значит, задаче удовлетворяют числа:

[pic].

Проверка;

[pic]

Почему Диофант делает предположение, что t==2s—2, он не объясняет. Во

всех своих задачах (в дошедших до нас шести книгах его их 189) он делает то

или другое предположение, не давая никакого обоснования.

Вообще содержание 6 книг таково:

В «Арифметике» 189 задач, каждая снабжена одним или несколькими решениями.

Задачи ставятся в общем виде, затем берутся конкретные значения входящих в

нее величин и даются решения.

Задачи книги I в большинстве определенные. В ней имеются и такие, которые

решаются с помощью систем двух уравнений с двумя неизвестными,

эквивалентных квадратному уравнению. Для его разрешимости Диофант выдвигает

условие, чтобы дискриминант был полным квадратом. Так, задача 30— найти

таких два числа, чтобы их разность и произведение были заданными числами,—

приводится к системе

х — у = а, х = b.

Диофант выдвигает «условие формирования»: требуется, чтобы учетверенное

произведение чисел, сложенное с квадратом разности их, было квадратом, т.

е. 4b + а2 = с2.

В книге II решаются задачи, связанные с неопределенными уравнениями и

системами таких уравнений с 2, 3, 4, 5, 6 неизвестными степени не выше

второй.

Диофант применяет различные приемы. Пусть необходимо решить

неопределенное уравнение второй степени с двумя неизвестными f2 (х, у) ==0.

Если у него есть рациональное решение (x0, y0), то Диофант вводит

подстановку

x = x0 + t,

y = y0 + kt,

в которой k рационально. После этого основное уравнение преобразуется в

квадратное относительно t, у которого свободный член f2 ( x0, у0) = 0. Из

уравнения получается t1 == 0 (это значение Диофант отбрасывает), t2 —

рациональное число. Тогда подстановка дает рациональные х и у.

В случае, когда задача приводилась к уравнению у2 = ax2 + bx + с, очевидно

рациональное решение x0 = О,y0=±C. Подстановка Диофанта выглядит так:

x = t,

y = kt ± c

Другим методом при решении задач книги II Диофант пользовался, когда они

приводили к уравнению у2 == = a2x2 + bx + с. Он делал подстановку

x= t,

y = at + k,

после чего х и у выражались рационально через параметр k:

[pic]

Диофант, по существу, применял теорему, состоящую в том,; что если

неопределенное уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение, то таких

решений будет бесчисленное множество, причем значения х и у могут быть

представлены в виде рациональных функций некоторого параметра»

В книге II есть задачи, решаемые с помощью «двойного неравенства», т. е.

системы

ах + b = и2,

сх + d == v2.

Диофант рассматривает случай а = с, но впоследствии пишет, что метод

можно применить и при а : с = т2, Когда а == с, Диофант почленным

вычитанием одного равенства из другого получает и2 —и2 = b — d. Затем

разность b — d раскладывается на множители b — d = п1 и приравнивает и + v

= I, и — v = п, после чего находит

и = (I + п)/2, v = (I - n)/2, х - (l2 + п2}/4a - {b + d)/2a.

Если задача сводится к системе из двух или трех уравнений второй степени,

то Диофант находит такие рациональные выражения неизвестных через одно

неизвестное и параметры, при которых все уравнения, кроме одного,

обращаются в тождества. Из оставшегося уравнения он выражает основное

неизвестное через параметры, а затем находит и другие неизвестные.

Методы, разработанные в книге II, Диофант применяет к более трудным

задачам книги III, связанным с системами трех, четырех и большего числа

уравнений степени не выше второй. Он, кроме того, до формального решения

задач проводит исследования и находит условия, которым должны удовлетворять

параметры, чтобы решения существовали.

В книге IV встречаются определенные и неопределенные уравнения третьей и

более высоких степеней. Здесь дело обстоит значительно сложнее, потому что,

вообще говоря, неизвестные невозможно выразить как рациональные функции

одного параметра. Но, как и раньше, если известны одна или две рациональные

точки кубической кривой fз (х, у) == 0, то можно найти и другие точки.

Диофант при решении задач книги IV применяет новые методы»

Книга V содержит наиболее сложные задачи; некоторые из них решаются с

помощью уравнений третьей и четвертой степеней от трех и более неизвестных.

Есть и такие, в которых требуется разложить данное целое число на сумму

двух, трех или четырех квадратов, причем эти квадраты должны удовлетворить

определенным неравенствам.,

При решении задач Диофант дважды рассматривает уравнение Пелля ax2 + 1 =

у2.

Задачи книги VI касаются прямоугольных треугольников с рациональными

сторонами. К условию х2 + у2 == z2 в них добавляются еще условия

относительно площадей, периметров, сторон треугольников.

В книге VI доказывается, что если уравнение ax2 + b == у2 имеет хотя бы

одно рациональное решение, то их будет бесчисленное множество. Для решения

задач книги VI Диофант применяет все употребляемые им способы.

Кстати, в одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь

Диофанта описывается в виде следующей алгебраиче-юй загадки, представляющей

надгробную надпись на его могиле

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей—и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:

[pic] откуда х = 84 = вот сколько лет жил Диофант.

Неопределённое уравнение x2 + y2 = z2

Такое неопределённое уравнение исследовали пиффагорийцы, целые решения

которого поэтому называют «пифагоровыми тройками», они нашли бесконечно

много таких троек, имеющих вид:

[pic]

Кубические уравнения

Более систематическое исследование задач, эквивалентных кубическим

уравнениям, относится только к эпохе эллинизма. Архимед в сочинении «О шаре

и цилиндре» (книга II, предложение 4) свел задачу о рассечении шара

плоскостью на два сегмента, объемы которых имели бы заданное отношение т :

п (т > п), к нахождению высоты х большего сегмента из пропорции

[pic]

(1)

где а — радиус шара.

Архимед обобщает задачу: рассечь заданный отрезок а на две части х и а—х

так, чтобы

(а — х) : с = S : х2, (2)

где с и S — заданные отрезок и площадь.

Заметив, что при такой общей постановке задача не всегда разрешима

(имеются в виду только положительные действительные решения), Архимед

приступает к ее исследованию с тем, чтобы наложить ограничения на с и S. Он

говорит, что изложит полное решение задачи «в конце», однако

соответствующее место не сохранилось. Жившие на столетие позже Архимеда

греческие геометры Диокл и Дионисодор уже не знали его. Они предложили

собственные, гораздо более сложные решения, но никто из них не сумел

провести анализ общего случая.

Только в VI в. н. э. комментатор Архимеда Евтокий нашел утраченное

место. Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений:

Параболы

[pic]

(3)

и гиперболы

[pic]

(4)

(здесь положено S = pb). Оба уравнения легко получить из пропорции (2).

Для выяснения необходимых условий Архимед переходит от пропорции (2) к

кубическому уравнению

x2(a-x) =

Sc (5)

которое он выражает словесно как соотношение между объемами. Ясно, что

уравнение (5) может иметь положительные корни, если

[pic]

Итак, проблема сводится к нахождению экстремума х2 (а — х).

Оставим пока в стороне вопрос о методе экстремумов Архимеда, мы вернемся

к этому, когда будем говорить об инфинитезимальных методах древних. Скажем

только, что Архимед полностью исследовал условия существования

положительных вещественных корней уравнения (5), а именно:

1) если Sc < 43/27, то на участке (0, а) имеются два таких корня;

2) если Sc = 4aз/27, то имеется один корень (как сказали бы мы,—

двукратный);

3) если Sc > 4aз/27, то корня нет.

Здесь 4а3/27 есть максимум х2 (а — х), достигаемый при х = 2а/3. В конце

письма, предпосланного книге «О коноидах и сфероидах» (греки называли

сфероидами эллипсоиды вращения, прямоугольными коноидами — параболоиды

вращения, а тупоугольными коноидами — полости двуполостных гиперболоидов

вращения), Архимед пишет, что с помощью доказанных в книге теорем можно

решить ряд задач, как, например: от данного сфероида или коноида отсечь

сегмент плоскостью, проведенной параллельно заданной, так, чтобы отсеченный

сегмент был равен данному конусу, цилиндру или шару. Перечисленные задачи,

так же как и задачи о делении шара, сводятся к кубическим уравнениям,

причем в случае тупоугольного коноида уравнение будет иметь вид

x2(a + x)=Sc

Из текста Архимеда можно заключить, что он проанализировал и решил это

уравнение. Таким образом, Архимед рассмотрел кубические уравнения вида х3 +

ax + b = 0 при различных значениях a и b и дал метод их решения. Однако

исследование кубических уравнений оставалось для греков трудной задачей, с

которой, в ее общем виде никто, кроме Архимеда, не мог справиться. Решение

отдельных задач, эквивалентных кубическим уравнениям, греческие математики

получали с помощью нового геометрического аппарата конических сечений. Этот

метод впоследствии восприняли математики стран ислама, которые сделали

попытку провести полный анализ всех уравнений третьей степени.

Но еще до этого, и притом греческими математиками, был сделан новый

решительный шаг в развитии алгебры: геометрическая оболочка была сброшена,

и началось построение буквенной алгебры на основе арифметики. Это произошло

в первые века нашей эры.

Литература:

«История математики в древности» Э. Кольман.

«Решение уравнений в целых числах» Гельфонд.

«В мире уравнений» В.А.Никифоровский.

«История математики в школе» Г.И.Глейзер.

«Рассказы о старой и новой алгебре» И.Депман.

«Пифагор: рассказы о математике» Чистаков.

«Краткий очерк истории математики» Стройк Д.Я.

«Очерки по истории математики» Болгарский Б.В.

«История математики» (энциклопедия) под редакцией Юшкевича.

«Энциклопедический словарь юного математика» под редакцией Гнеденко.

-----------------------

(2)_

(1)