Уравновешивание геодезических сетей сгущения и систем ходов плановой съемочной сети

Уравновешивание геодезических сетей сгущения и систем ходов плановой съемочной сети

2. Уравновешивание систем ходов плановой съемочной сети

2.1 Уравновешивание систем теодолитных ходов с одной узловой точкой

2.1.1 Задание

Произвести уравновешивание систем теодолитных ходов, сходящихся в узловой точке 3 и опирающихся на линии геодезической сети АВ, СD, ЕF с известными дирекционными углами на пункты В, D и F с известными координатами.

Схема ходов и значения измеренных углов и длин линий приведены на рисунке 5.

Рис.5 Схема ходов

Таблица 11

Исходные данные.

Вычисления всех дирекционных углов выполнить с округлением до 0,1'. Приращение координат и координаты вычислить с округлением до 0,01м.

В результате уравнивания сети ходов должны быть представлены:

1. Схематический чертеж (рис. 5)

2. Ведомость вычисления координат (таблица 12).

3. Таблица вычислений окончательных значений дирекционного угла узловой линии (таблица 13).

4. Таблица вычислений окончательных значений координат узловой точки (таблица 14).

2.1.2 Порядок решения

2.1.2.1. По схеме намечаем узловую линию, например линию 2-3. Выписываем в ведомость координат (таблица 12) измеренные углы (графа 2) и дирекционные углы твердых линий (графа 4). Подсчитываем суммы измеренных углов по каждому из ходов.

2.1.2.2. По всем трем ходам вычисляем дирекционный угол узловой линии и результаты записываем в графу 2 таблицы 13, а в графу 4 записываем число углов по каждому ходу.

2.1.2.3. Оцениваем качество угловых измерений, составив для этого разности вычисленных для узловой линии дирекционных углов. Первую разность составляем из дирекционных углов, найденных по двум ходам с наименьшим числом углов. Полученная разность равна угловой невязке этих двух ходов. Сравнить эту разность с допустимой невязкой определяемой по формуле:

 (23)

где - число углов в обоих ходах.

Другую разность составляем из дирекционных углов, вычисленных по третьему ходу и одному из двух первых. Эту невязку также сравнивают с предельной, определяемой по формуле (23). Результаты вычислений записываем в графу 9 таблицы 13.

Таблица 12

Ведомость вычисления координат.

 379°00,5’ P= 522,76  291,57 -390,44

 379°00,4’  291,53 390,53

 +0,1’ fх=0,04 fу=0,09

1.4’ fабс=0,01 fотн=0,01/523=1/52300

629°23.5' P=1078.03 577,02 835,38

 629°22.9' 577,16 835,29

+0.6' fх= -0,14 fу=0,09

 2,0' fабс=0,17 fотн=0,17/1078= 1/6000

505°28,0' P=844,21 -710,00 43,70

 505°28,3' -710,04 43,93

- 0,3' fх= +0,4 fу= -0,23

 1,6' fабс=0,23 fотн=0,23/844= 1/3700

2.1.2.4. Определяем веса вычисленных значений дирекционного угла узловой линии по формуле:

где ni - число углов в i - м ходе,

k - произвольный коэффициент, выбираемый так, чтобы веса выражались числами близкими к единице. Найденные веса записываем в графу 5 таблицу 13 с округлением до 0,01.

Таблица 13

Вычисление окончательного значения α2-3

a0= 143°15.2’ [PE]=+7.8 [P]=13 [Pfβ]=0

а=143°15,8'

Контроль: ω[P]= 0

2.1.2.5. По формулам общей арифметической средины:

где α0- приближенное значение искомого дирекционного угла, ε1 - остаток, определяемый по формуле:  (i=1,2,3) (26), вычислить окончательное значение дирекционного угла α.

2.1.2.6. Вычисляем угловые невязки ходом для правых углов по формуле:

 (27),

для левых углов по формуле:

 (28)

Полученные значения невязок записать в графу 7 таблицы 13. Выполнить контроль вычисления невязок по формуле: [pfβ] =0

Вследствие ошибок округлений это равенство может не выполняться.

В этом случае [pfβ]=ω[P] (30), где ω- ошибка округления при делении [ Pε ] на [ p ].

2.1.2.7. Полученное окончательное значение дирекционного угла α узловой линии в дальнейшем принимают за твердое и записывают в графу 4 таблицы 12. Затем вычисляют теоретические суммы углов по каждому ходу по формулам:

• для правых углов

• для левых углов

где αн и αк - начальный и конечный углы хода, найти угловые невязки и сличить их с полученными в графе 7 таблица 12, учитывая, что невязки для правых и левых углов одного и того же хода противоположны по знаку (ход 1).

Если полученные невязки меньше предельных, то распределим их с противоположным знаком поровну на углы соответствующих ходов (с округлением до 0,1').

2.1.2.8.Вычисляем дирекционные углы по формулам:

• для правых углов: α1=αi-1+180˚-βi (33)

• для левых углов: α1=αi-1+180˚-λi

Таблица 14

Вычисление окончательных значений координат узловой точки 3.

X0 = 2725,84 [pεx]= 2.34 [pfx]= -0,04 [p]= 17

y0=4402.09 [pfy]= +0,07 [pεy]= -3,84

X= 2725,98 y=4117,95

Контроль: ωx[p]=0,06 ωy[p]= 0,05

2.1.2.9. Вычисляем приращения координат и их суммы (см. таблицу 12), а затем - координаты узловой точки по всем трем хода. Результаты вычислений записать в графы 2 и 13 таблицы 14.

Проверка допустимости линейных невязок

2.1.2.10. Оцениваем качество измерений, вычислив для этого невязки по ходам: по первому - вместе со вторым и по второму - вместе с третьим.

Для этого составляем разности координат по соответствующим парам ходов:

Fx=xi-xj

Fy=yi-yj (34)

Одна пара ходов берется с наименьшими периметрами. Подсчеты невязок выписываем внизу таблицы 14.

Относительные невязки не должны превышать 1:1000.

2.1.2.11. Вычисляем веса значений координат узловой точки по формуле:

в которой

Si - длина соответствующего хода, выражаем в километрах;

k — произвольный коэффициент, выбираем с таким же расчетом, как и при вычислении дирекционных углов. Результаты вычислений записываем в графу 8 таблица 14.

2.1.2.12. По формуле общей арифметической средины:

где x0 , y0 - приближенные значения координат Х и У,

εxi ,εyi - величины определенные по формулам:

εxi=xi-x0

εyi=yi- y0 (37)

Вычисляем окончательные значения координат узловой точки Х и У. Полученные значение записываем в таблицу 12.

2.1.2.13. Вычисляем невязки приращений координат для каждого хода по формулам:

fx=xi-x0

fy=yi-y0 (33)

и записываем их в графы 5 и 10 таблицу 14.

Выполняем контроль вычисления Х и У и невязок по формулам:

[pfx]=-ωx[p] (39) , [pfy]=-ωy[p] (40)

где ωx и ωy - ошибка округлений при делении [pεx] и [pεy] на [p].

2.1.2.14. Вычисляем для каждого хода в ведомости координат (таблица 12) вторично невязки по формулам:

где  и  - измеренные суммы приращений координат по каждому ходу;

Xi и Yi - координаты начальной точки соответствующего хода;

X3 и Y3 - координаты узловой точки (точка 3).

Эти невязки сличают с полученными ранее.

Данные подсчитываем по каждому ходу fабс и fотн. Если последнее не превышают 1:1000, то невязки в приращениях координат распределяем на соответствующие приращения с противоположными знаками, пропорционально длине линий.

Затем в графах 8 и 9 таблица 12 вычисляем исправленные приращения координат.

2.1.2.15. По исправленным приращениям координат вычисляем координаты всех точек (графы 10 и 11 таблица 12).

2.2 Уравновешивание углов сети теодолитных ходов по способу полигонов профессора В.В.Попова

2.2.1 Задание

Уравновесить углы и вычислить дирекционные углы сторон сети, изображенной на рисунке 6.

Исходные данные.

Рис.6 Схема полигонов

2.2.2 Порядок решения

2.2.2.1. Подсчитываем число полигонов, включая и несомкнутый полигон между твердыми (исходными) сторонами АВ и CD.

2.2.2.2. Исправить непосредственно на схеме полигонов (рисунок 6) сумму углов при каждой внутренней узловой точке (15 и 9) для соблюдения условий горизонта (360°), внеся поправки поровну на каждый угол до десяти долей минуты. Поправки записываем на схеме у соответствующих углов в десятых долях минуты. Например, поправку +0,1' записываем в виде +1.

2.2.2.3. Подсчитываем сумму измеренных углов в каждом полигоне с учетом поправок за условие горизонта и записываем ее на схеме внутри соответствующего полигона (см. рисунок 6). Несомкнутый полигон IV, включающий твердые линии АВ и CD условно считаем сомкнутыми при помощи пунктирной линии. Число углов, сторон или направлений по этой пунктирной линии в процессе вычислений считается равным нулю.

Под практической суммой углов в каждом полигоне записываем сумму углов теоретическую, причем по полигону IV теоретическую сумму углов следует вычислять по формуле:

Вычисляем для каждого полигона полученную невязку в сумме углов

и сравниваем ее с предельной,

где n- число углов полигона.

Полученные предельные невязки записываем на схеме (см. рис. 6) под соответствующими суммами углов в каждом полигоне.

2.2.2.4. Составляем схему сети теодолитных ходов для уравновешивания углов (рисунок 7). На этой схеме выписываем номера узловых точек и полигонов. Внутри каждого полигона под его номером заготовить табличку невязок и около каждого звена, кроме пунктирного, таблички поправок. В таблички записываем полученные невязки.

2.2.2.5. Вычисляем красные числа для каждого звена всех полигонов по правилу: красное число звена равно числу направлений в звене, деленному на число направлений в полигоне.

При этом каждую линию в замкнутых полигонах |,||, и ||| а в полигоне IV твердые линии АВ и СD считаем каждую за одно направление. Поэтому на чертеже пунктирная линия, условно замыкающая полигон, вычерчивается у середины твердых линий, включая в полигоне не целые линии, а одно направление.

Контроль: сумма красных чисел по каждого полигону должна быть точно равна единице. Красные числа выписать красным цветом под соответствующими табличками.

2.2.2.6.Распределяем невязки пропорционально красным числам соответствующих полигонов. Начинаем с полигона, имеющего наибольшую по абсолютной величине невязку, умножая, ее последовательно на красные числа звеньев данного полигона и вносим произведения в соответствующие таблички поправок со знаком невязки, с округлением до 0.1΄

2.2.2.7. Подсчитываем алгебраические суммы чисел, а таблицу поправок и записываем их над двойной чертой.

Подсчитываем поправки во внутренние углы каждого полигона по всем звеньям. Для внутренних звеньев сети поправки получаем так: изменяем знак суммы чисел внешней по отношению к полигону таблички и складываем с суммой чисел внутренней таблички того же знака. Для каждого внешнего звена сети поправка равна итогу внешней таблички с противоположным знаком. Все поправки на звенья записываем в скобках внутри полигона у соответствующих звеньев (см. рис. 7).

Контроль вычислений поправок: их сумма по каждому полигону должна быть равна невязке полигона с обратным знаком.

Рис.7 Схема уравновешивания

1757°49,8' 1032°35,1'

 1757°48,1'  1032°33,1'

+1,7' +2,0'

 3,3'  2,6'

1030°24,5' 407°25,6'

 1030°25,1'  407°26,0'

-0,6' -0,4'

 2,6'  1,7'

2.2.2.8. Распределение поправки звеньев на каждый угол.

Для этого поправку, приходящуюся на звено, делим на число направлений и полученную поправку направления вводим в углы при узловых точках, а в остальные углы – удвоенную поправку. Следовательно, каждый угол при узловой точке должен получить по две поправки, приходящиеся на этот угол от каждого направления обоих звеньев.

Поправки углов записываем под (или над) соответствующими углами непосредственно на схеме (рис.6). При узловых точках поправки от каждого звена записываем отдельно.

2.2.2.9. Выписываем в ведомость вычисления дирекционных углов со схематического чертежа измеренные углы и на нем соответствующие поправки. Подсчитываем допустимую невязку и сравниваем с ней полученную. Контроль: сумма поправок должна быть равна полученной невязке с противоположным знаком. Выписываем исправленные углы, подсчитываем для контроля их суммы и вычисляем дирекционные углы сторон всех ходов.

2.3 Уравновешивание системы полигонометрических ходов способом последовательных приближений

2.3.1 Задание

По данным, указанным на схеме полигонометрических ходов (рис. 8, 9), способом последовательных приближений произвести уравновешивание:

• дирекционных углов узловой линий;

• координат узловых точек.

В таблице 17 приведены по вариантам углы при точках № 1,12,16. Остальные углы принять такими же, как и на схеме (см. рис. 8).

Таблица 17

Значения углов № 1,12,16.

Таблица 18

Суммы приращений координат по звеньям.

2.3.2.2 Порядок уравновешивания.

2.3.2.1.Вычисление дирекционных углов.

2.3.2.1.1. На схематическом чертеже (см. рис. 8) у каждого звена выписываем в виде дроби: в числителе номер звена и сумму измеренных углов, в знаменателе - число углов (звеном называют часть хода, заключенного между угловыми линиями или между «твердой» и узловой линией).

2.3.2.1.2. По данным, представленным на чертеже, подсчитываем угловые невязки по ходам и замкнутому полигону и выписываем их на чертеж (см. рис. 8). Если угловые невязки не превышают допустимой, то продолжаем вычисление.

2.3.2.1.2. Заполняем ведомость вычисления дирекционных углов (таблица 19) в следующем порядке:

• выписываем исходные данные дирекционные углы «твердых» линий с чертежа сети;

• в графу 1 выписываем название узловых линий, для которых вычисляются дирекционные углы;

• в графу 2 выписываем наименование начальных (исходных) линий (твердых и узловых) звена, от которых можно вычислить искомые дирекционные углы, при этом в первую очередь выписываем наименование «твердых», исходных сторон;

• в графу 3 выписываем номера звеньев примыкающих к соответствующей узловой (искомой) линии, графы 4, 5 и 6 заполняем со схемы ходов в соответствии с их названием;

• вычисляем веса дирекционных углов по каждому звену (до 0,01) по формуле:

где i = 1,2,3,... „- номер звена; k - произвольный постоянный коэффициент обычно выбираем так, чтобы веса выражались числами близкими к единице;

ni - число углов звена.

Для дирекционного угла каждой узловой линии вычисляем сумму весов примыкающих к ней звеньев и определяем веса по формуле:

Контроль:[P΄]=1

• вычисляем методом последовательных приближений значения дирекционных углов узловых линий.

Нулевое приближение для дирекционных углов каждой узловой линии вычисляем непосредственно от « твердой» стороны:

 (48)

 (49)

Нулевое приближение записываем в первых строках каждого блока графы 9 и подчеркиваем;

• для вычисления первого приближения дирекционного угла каждой узловой линии находим значения дирекционного угла этой линии путем передачи от исходных данных по воем примыкающим к ней звеньям. Из полученных значений найти среднее весовое значение (графы 9,10)

где α0 - приближенное (наименьшее) значение дирекционного угла узловой линии (взятое до целых минут) из полученных значений по каждому примыкающему звену:

Это и будет первым приближением.

Аналогично вычисляем второе, а затем и следующие приближения (графы 11,...). При вычислении каждого последующего приближения за исходные данные принимаем самые последние значения приближений.

Приближения заканчиваем тогда, когда последнее вычисленное приближение дает одинаковый результат с предыдущим. Это последнее приближение и является окончательным значением о. Величины εi и α вычисляем до целых секунд;

• для контроля вычислений определяем поправки в углы по звеньям.

 (углы левые), (52)

где α и αi - значения дирекционных углов соответственно узловой линии, записанные в графы последнего приближения, и окончательное.

Выполнение равенства: (53)

служит контролем правильности вычисления окончательного значения дирекционного угла.

Из-за погрешностей округления Σ P`iνi может быть не равно нулю, но должна быть

Значения поправок νi выписать на схему ходов (см. рис. 8) красным цветом над суммой измеренных углов соответствующего звена и произвести подсчет поправок по ходам, имея в виду, что т.е. в случае правых углов знак полученной поправки должен быть изменен на противоположный.

Контроль: сумма поправок по ходу должна быть равна невязке с обратным знаком.

Таблица 19

Вычисление дирекционных углов узловых точек.

Рис.8 Схема для вычисления дирекционных углов опорных линий

2.3.2.2. Вычисление координат.

2.3.2.2.1. По данным, указанным на чертеже (рис. 9), подсчитываем линейные невязки по ходам и по замкнутому полигону и выписываем их на чертеже.

Если fотн ≤1/5000 (56), то производим дальнейшие вычисления.

2.3.2.2.2. По имеющимся на чертеже данным заполнить ведомость вычисления координат (табл.20).

а) выписываем исходные координаты «твердых» пунктов;

б) выписываем названия искомых узловых и исходных точек в том же порядке, как и при вычислении дирекционных углов;

в) выписываем номера звеньев, примыкающих к исходной узловой точке;

г) выписываем суммы приращений ∑Δхпр и ∑Δупр и периметры ∑di для каждого звена;

д) вычисляем веса сумм приращений координат по каждому звену по формулам:

Контроль:е) вычисляем нулевые приближения координат узловых точек путем передачи координат по одному звену от твердых точек:

и записываем в первых строках каждого блока графы 8 таблицы 20.

ж) аналогично вычисляем, дирекционных углов получаем первые, вторые и т.д. приближения координат узловых точек по формулам:

где X0 и Y0 - приближенные значения координат узловой точки, взятые до целого центра;

X , Y- значения координат узловой точки полученные по каждому звену. Значения pi , εx и εy, вычислить в сантиметрах с округлением до 1 см;

з) для контроля вычислений определяем поправки νx1 и νy1 в суммах приращений по ходам. Эти поправки равны разностям между окончательными значениями координат и значениями, записанными в той же графе, которые получены по отдельным звеньям.

Контролем правильности вычислении среднего весового приращения координат для каждой узловой точки служит равенство: (62)

Вследствие погрешностей округлений равенство (62) точно не выполняется, но должно быть (63)

Поправки в приращениях записываем в графу 14 таблицы 20, а так же выписываем красным цветом на схеме (см. рисунок 9) над соответствующими суммами приращений. Следует иметь ввиду, что знак поправок соответствует приращению хода, указанному стрелкой.

Контроль: сумма поправок по отдельным ходам равна невязке с обратным знаком.

Вычисление ординат узловых точек

Ув=25763,05м Ус=28817,35м УF=25700,48м

Таблица 20

Вычисление абцисс узловых точек

Хв=31361,65м Хс=31908,90м ХF=28461,05м

Страницы: 1, 2