РУБРИКИ

Оцінка точності при параметричному методі врівноваження

   РЕКЛАМА

Главная

Зоология

Инвестиции

Информатика

Искусство и культура

Исторические личности

История

Кибернетика

Коммуникации и связь

Косметология

Криптология

Кулинария

Культурология

Логика

Логистика

Банковское дело

Безопасность жизнедеятельности

Бизнес-план

Биология

Бухучет управленчучет

Водоснабжение водоотведение

Военная кафедра

География экономическая география

Геодезия

Геология

Животные

Жилищное право

Законодательство и право

Здоровье

Земельное право

Иностранные языки лингвистика

ПОДПИСКА

Рассылка на E-mail

ПОИСК

Оцінка точності при параметричному методі врівноваження

Оцінка точності при параметричному методі врівноваження

Міністерство освіти і науки України

Волинський національний університет ім. Лесі Українки

географічний факультет

Реферат на тему:

«Оцінка точності при параметричному методі врівноваження»

Виконала:

Студентка 25 групи ЗІК

Витрикуш Анастасія

Володимирівна

Викладач:

Бліндер Ю. С.





Луцьк- 2010

План

Вступ.

1)      Суть завдання врівноваження геодезичних побудов.

2)      Основні способи врівноваження геодезичних побудов.

3)      Суть і послідовність врівноваження параметричним способом.

4)      Оцінка точності при парметричному методі врівноваженні.

Висновок

Список використаної літератури

Вступ

Геодезія займається вивченням Землі в геометричному відношенні. Назва геодезія походить від грецьких слів: гео-земля та дазаман-ділю, тобто Землі розділення. Звідси видно, що геодезія дуже близька до геометрії-науці про вимір. Обидві ці науки зародилися в далекій давнині. З розвитком людського суспільства геометрія стала займатися вивченням просторових форм, а практична частина в додатку до питань виміру на землі отримала назву геодезія.

Геодезія у свою чергу тісно пов'язана з картографією-наукою про складання карт. Геодезичні матеріали служать основою для складання карт. Завданням геодезії є вивчення деталей земної поверхні. У результаті вивчення отримують плани, карти та числові характеристики, що відносяться до Землі в цілому і окремих дільницях, лініях і точкам на ній. У геодезії вивчаються способи та інструменти, що застосовуються при вимірюванні кутіві довжин ліній.

Матеріали геодезичних робіт у вигляді планів, карт і числових величин (координат і висот) точок земної поверхні мають велике застосування в різних галузях народного господарства. Усяке споруда проектують з урахуванням наявних на місцевості контурів споруд, доріг, водних джерел, ґрунту. Тому для проектування необхідний план місцевості з докладним відображенням всіх деталей. Проектування та будівництво сіл, міст, залізних і шосейних доріг не можна виконувати без геодезичних матеріалів. Геодезичні роботи за змістом і характером поділяються на дві стадії: 1. польові вимірювальні роботи із застосуванням сучасної геодезичної техніки. 2. обчислювальна обробка результатів вимірювань, графічне складання та оформлення планів і карт.

Винятково велике значення планова-картографічний матеріал має в сільському господарстві. Землевпорядні органи займаються проблемою раціонального використання землі.

Перед сільським господарством стоять завдання зрошення, осушення земельних ділянок, поведінка заходів щодо боротьби з ерозією грунтів та ін всі ці питання можна вирішити тільки з використанням геодезії. Для вирішення багатьох питань необхідні плани, карти, що відображають рельєф, межі видів ґрунтів, рослинності, водойм та ін Методи вивчення Землі в цілому, як планети значно відрізняються від методів вивчення окремих ділянок поверхні. Земля є сферичне тіло, отже, досліджуючи її в цілому або великих її ділянок необхідно враховувати сферичність, що і вивчає наука вища геодезія.

Суть завдання врівноваження геодезичних побудов


Геодезичні побудови створюються для забезпечення єдиної системи координат і висот, для визначення взаємного положення точок, що знаходяться на земній поверхні, під і над нею. При цьому об'єкти можуть бути нерухомими (рівновага об'єктів) або знаходиться в русі.

Геодезичними побудовами є різні геометричні фігури, в яких вимірюються довжини ліній, кути, перевищення. Розрізняють такі геодезичні побудови:

1)                ряди і мережі тріангуляції, трилатерації, лінійно-кутові мережі;

2)                ходи і мережі полігонометричні, нівелірні, теодолітні, висотно теодолітні;

3)                просторові геодезичні і космічні мережі і ін.

У цих мережах прямим або непрямим способом вимірюються різні елементи, які дають можливість знайти невідомі параметри (координати і висоти), що характеризують взаємне положення вершин геометричних фігур в просторі. У будь-якому геодезичній побудові вимірюються k невідомих величин, які вистачає для відшукання невідомих нам параметрів. Наприклад, в мережі тріангуляцію досить знати один базис і виміряти по два кути в кожному трикутнику (рис. 1).


Рис.1 – Необхідні величини.


Крім того, вимірюються r надлишкових (додаткових) величин, необхідних для відбракування грубих вимірів, підвищення точності визначення шуканих параметрів і для оцінки точності вимірів і визначуваних параметрів (рис. 2). Наприклад, в приведеній раніше мережі тріангуляції необхідно виміряти додатково треті кути в трикутниках і вихідний (останній) базис і так далі.


Рис. 2 Необхідні і надлишкові величини.


Надлишкові величини пов'язані з необхідними математичними співвідношеннями. Наприклад, в даній мережі тріангуляції сума кутів в кожному трикутнику повинна бути рівна 180˚. Або b1 і b2 зв'язані між собою трикутниками, вирішення яких виробляється по теоремі синусів.

Всього в кожній побудові виконується n = k + r вимірів. Слід мати на увазі, що для визначення координат кожної точки необхідно виконати по 2 виміри, а для визначення висот кожної точки – по одному виміру.

Всі виміри n = k + r елементів геодезичної побудови супроводяться похибками (випадковими і систематичними). Тому виміряні значення елементів мережі відрізняються від їх дійсних значень, а з цього виходить, що математичні співвідношення між значеннями елементів в мережі не дотримуються.

Нехай для елементів Xi отримані результати вимірів xi. Ці результати є функціями його елементів. Обчислене по виміряних елементах значення параметра y=f(x1, x2 ..., xn) відрізняється від його дійсного значення


Y=f(X1, X2 ..., Xn) і має дійсну похибку ∆y=y-Y.


Ця похибка ∆y функціонально залежить від похибок виміру елементів ∆i. До того ж кожен параметр може бути знайдений по різних комбінаціях k елементів з n виміряних. Значень одного і того ж параметра, що набувають при цьому, будуть різні.

Елементи геодезичної побудови зв'язані між собою різними геометричними умовами, які можна записати в наступному вигляді:



Ці рівняння називаються умовними рівняннями або рівняннями зв'язку. При підстановці в умовні рівняння виміряних значень елементів отримують нев'язки.



Якщо нев'язки wj не перевищують допустимого значення, то виміри вважаються виконаними правильно. У такому разі виміри зрівнюються для усунення нев'язок, визначення зрівняних значень елементів xi і оцінки їх точності. Це основні завдання зрівнювання. При підстановці зрівняних значень елементів x’i в умовні рівняння отримуємо:



Параметр геодезичної побудови, обчислений по зрівняних елементах, набуває лише одне значення



Крім того, зрівняні значення елементів володіють меншою (по абсолютній величині) похибкою, чим виміряні значення елементів, тобто


,


де

Таким чином, врівноваження забезпечує:

1)                однозначне визначення параметрів геодезичної побудови;

2)                підвищення точності визначення елементів і параметрів побудови.

Зрівнювання геодезичних побудов виконується в тих випадках, коли:

1)                відомі вихідні дані, яких вистачає для обчислення визначуваних параметів побудови;

2 ) виконано n вимірів, причому n>k (k – число необхідних вимірів);

3) серед виміряних n елементів побудови є k величини, необхідні і достатні для відшукання визначуваних параметрів.


Основні способи врівноваження геодезичних побудов

Основними є два способи зрівнювання:

1) параметричний спосіб (спосіб необхідних невідомих);

2) коррелатний спосіб (спосіб умов).

Окремі способи зрівнюваннями, що мають свої назви, є видозміни або різні комбінації цих способів (зрівнювання вимірів однієї величини, групове зрівнювання, параметричний спосіб з надлишковими невідомими, спосіб умов з додатковими невідомими і ін.)

Параметричний спосіб заснований на тому, що кожен елемент геодезичної побудови xi функціонально пов'язаний з системою незалежних між собою параметрів y1, y2, ..., yk, достатніх для визначення взаємного положення пунктів геодезичної побудови, тобто


де Xi і Yj – дійсні значення елементів і параметрів геодезичної побудови. При зрівнюванні параметричним способом визначають зрівняні значення параметрів y’1, y’2, ..., y’k, необхідних для представлення всіх елементів геодезичної побудови в наступному вигляді:



де xi і vi – виміряне значення i-того елементу побудови і поправка до нього. З цього рівняння отримують систему початкових рівнянь поправок або параметричні рівняння:



Для приведення цих рівнянь до лінійного вигляду знаходимо наближені значення невідомих параметрів y1, y2 ..., yk і представляємо їх зрівняні значення у вигляді:



де tj – невеликі по абсолютній величині поправки до наближених значень параметрів.

Розкладемо функцію fi(y’1, y’2, ..., y’k) в ряд Тейлора і, обмежуючись лише лінійними членами, отримаємо:



Приймемо, що



Тоді



Отже,



Приймемо, що



тобто li – це різниця між елементами, обчисленими по наближених параметрах і їх виміряними значеннями. Тоді отримаємо систему параметричних рівнянь поправок в лінійному вигляді



Число цих рівнянь дорівнює числу n виміряних величин, а число невідомих параметрів – k, причому k<n. Така система рівнянь є невизначеною. Вона має безліч рішень. Для здобуття однозначного рішення необхідно введення додаткових умов, при яких виробляється зрівнювання.

Зрівнювання параметричним способом полягає у відшуканні поправок t1, t2, ..., tк наближених значень шуканих параметрів у1, у2, ..., уk, їх зрівняних значень у’1 у’2 ., у’k і х’1, х’2 ., х’n, а також в оцінці точності результатів врівноваження.

Коррелатний спосіб зрівнювання полягає у вирішенні системи r незалежних умовних рівнянь, що виникають при вимірі r надлишкових елементів в геодезичній побудові.

Умовне рівняння має вигляд:


 (1)


де wj – нев'язки в умовних рівняннях.

Для приведення умовних рівнянь до лінійного вигляду приймемо, що:



де xi і vi – виміряне значення i-того елементу геодезичної побудови і поправка до нього.

Поправки vi усувають нев'язку wj (умова зрівнювання). Тоді:



Поправки vi малі по абсолютній величині порівняно із значеннями елементів, тому розкладемо функцію f(x’i) в ряд Тейлора і обмежуючись лише членами першого порядку отримаємо:



Приймемо, що



Тоді



Підставивши отримане рівняння у формулу 1 отримаємо систему умовних рівнянь поправок в лінійному вигляді:



Дана система r рівнянь з n невідомими є невизначена, оскільки r<n. Тобто система умовних рівнянь поправок має безліч рішень і для її вирішення необхідно ввести додаткові умови.

Параметричний спосіб зрівнювання і спосіб умов є еквівалентними за однакових додаткових умов, тобто приводять до однакових значень зрівняних елементів геодезичної побудови.


Суть і послідовність врівноваження параметричним способом


При побудові геодезичних мереж на місцевості закріплюються пункти, координати і висоти яких є шуканими величинами. Як правило, при зрівнюванні геодезичних мереж параметричним способом шукані параметри приймаються:

1) координати X і Y пунктів при зрівнюванні планових мереж;

2) висоти Н пунктів при врівноваженні висотних мереж.

Елементами геодезичних мереж є вимірювані на місцевості горизонтальні кути, довжини ліній, перевищення між точками, введемо наступні позначення (k<n):

1)                Yj (j = 1, k) – дійсні значення шуканих параметрів або необхідних невідомих;

2)                y* j (j = 1, k) – зрівняні значення параметрів;

3)                yj (j = 1, k) – наближені значення параметрів;

4)                tj (j = 1, k) – поправки в наближені значення параметрів;

5)                Xi (i = 1, n) – дійсні значення елементів мережі;

6)                x*i (i = 1, n) – зрівняні значення елементів;

7)                vi (i = 1, n) – поправки у виміряні значення елементів мережі;

8)                aij (i = 1, n; j = 1, k) – коефіцієнти параметричних рівнянь поправок;

9)                li (i = 1, n) – вільні члени параметричних рівнянь поправок;

10) Pi (i = 1, n) – ваги результатів вимірів.

При врівноваженні параметричним способом складається система параметричних рівнянь поправок



де  - матриця коефіцієнтів параметричних рівнянь поправок розміром k*n;


- вектор поправок до вектора наближених значень параметрів yj;

- вектор вільних членів системи параметричних рівнянь поправок l= f(y1, y2 ., yk) – xi;


- вектор поправок до вектора виміряних елементів мережі xi.

Вирішення системи параметричних рівнянь поправок полягає у відшуканні вектора поправок Т до наближених значень параметрів


yj (j = 1, k) за умови  


де - вагова матриця або матриця вагів результатів вимірів розміром n*n.

Для відшукання min функції необхідно прирівняти до нуля її першу похідну і вирішити отримані рівняння. У нашому випадку:



З системи параметричних рівнянь поправок виходить, що



Покажемо, що умова



Рівносильно умові


 


Отже:



Помножимо рівняння AT + L = V зліва на  і отримаємо:



або враховуючи умову



Отримана система k рівнянь з k невідомими параметрами tj називається системою нормальних рівнянь. Матриця коефіцієнтів системи нормальних рівнянь має вигляд:



Отримана матриця:

1)                квадратна матриця порядку k;

2)                симетрична матриця;

3)                позитивно визначена рангу k;

4)                неособлива.

В результаті вирішення системи нормальних рівнянь отримуємо поправки tj до наближених значень параметрів yj, а потім по формулі

y*j = yj + tj зрівняні значення параметрів. Поправки vi до виміряних значень елементів мережі xi обчислюються за формулою:



Потім обчислюються зрівняні значення елементів мережі:



Контроль вирішення системи нормальних рівнянь обчислення поправок vi і зрівняних значень x*i і y*j виробляється по формулі:



тобто по зрівняних значеннях параметрів ще раз обчислюють зрівняні значення елементів мережі.

Недотримання цієї контрольної рівності може відбуватися із-за помилок в обчисленнях або унаслідок недостатньої точності наближених значень параметрів yj. У першому випадку необхідно відшукати і виправити помилки в обчисленнях. У другому випадку зрівняних значень y*j слід набути як наближені значення і з ними повторити весь процес зрівнювання.

Ознакою недостатньої точності наближених значень параметрів є недопустимо великі значення поправок tj. У цих випадках не можна нехтувати нелінійними членами розкладання функції в ряд Тейлора при обчисленні коефіцієнтів параметричних рівнянь поправок.


Оцінка точності при параметричному методі врівноваження.

Визначення середньої квадратичної погрішності одиниці ваги. Визначається по формулі:



де n – число виміряних величин;

k – число необхідних вимірів.

Середня квадратична похибкам визначення m обчислюється за формулою:



Величина [pvv] або  може бути знайдена різними шляхами:

1)                по алгоритму Гауса – при вирішенні системи нормальних рівнянь до основної системи NT + L = 0 додається ще одне рівняння



2)                Знов отримана система k+1 рівнянь з k+1 невідомими зберігає всі властивості нормальних рівнянь, причому останній діагональний елемент Тому після виключення всіх невідомих ti отримаємо:



2) по обчислених поправках v – обчисливши поправки V = AT + L, де А – матриця коефіцієнтів рівнянь поправок. Обчислимо величину [pvv] за формулою:



3) по значеннях вільних членів l в рівняннях поправок і поправках v – знаючи поправки v в результати вимірів і вільні члени l рівнянь поправок знайдемо [pvv] по формулі:



або



Обчислення середніх квадратичних похибок зрівняних значень параметрів.

Виразимо невідомі Т у вигляді лінійних функцій вільних членів нормальних рівнянь за допомогою зворотної матриці:



Позначимо  Тоді



Тобто



Для будь-якого ti можна записати



У параметричному способі зрівнювання елементи зворотної матриці Q є ваговими коефіцієнтами. При цьому всі діагональні елементи Qij завжди позитивні і називаються квадратними, а Qij = Qji, тобто матриця симетрична. Середня квадратична погрішність зрівняного значення параметрів

Yj* (j = 1,k) обчислюється за формулою:



Вагові коефіцієнти Qij визначаються вирішенням системи рівнянь N·q – E = 0. Для цього в таблиці вирішення нормальних рівнянь по алгоритму Гауса додаються стовпці з коефіцієнтами одиничної матриці. Наприклад, для i = 1 маємо:



Після завершення всіх перетворень обчислимо Q11, Q12 і Q13 також, як і невідомі. При цьому замість графи L використовується додаткова графа Q1j. Використовуючи коефіцієнти нормальних рівнянь можна довести, що зворотна вага j-того параметра визначається по формулі:



Тоді



Обчислення середньої квадратичної погрішності зрівняних значень виміряних величин.

Середня квадратична погрішність обчислюється за формулою:



де Pfi – вага зрівняного значення виміряної величини xi*.

Виразимо xi* через зрівняні значення параметрів Yj*



і визначимо коефіціенти



Наприклад,


 Тоді


Зворотна вага функції 1/Рf обчислюється безпосередньо в графові F за допомогою вагових функцій fi, узятих із зворотним знаком. Крім того:



Обчислення коефіцієнтів кореляції між зрівняними значеннями параметрів.



Тоді


.



Висновок


Геоде́зія (у перекладі з грецької — «землерозділення) — наука про методи визначення фігури і розмірів Землі, зображення земної поверхні на планах і картах і точних вимірювань на місцевості, пов'язаних з розв'язанням різних наукових і практичних завдань.

Виділяють вищу геодезію (вивчає фігуру, розміри і гравітаційне поле Землі, а також теорію й методи побудови опорної геодезичної мережі), топографію та прикладну геодезію (використання методів і техніки геодезії для розв'язання спеціальних вимірювальних завдань у різних галузях господарства).

Геодезія тісно пов'язана з математикою, фізикою, радіоелектронікою, радіотехнікою, геофізикою, астрономією, картографією, географією, геоморфологією.

Геодезичні побудови створюються для забезпечення єдиної системи координат і висот, для визначення взаємного положення точок, що знаходяться на земній поверхні, під і над нею. При цьому об'єкти можуть бути нерухомими (рівновага об'єктів) або знаходиться в русі.

Врівноваження забезпечує:

1)                однозначне визначення параметрів геодезичної побудови;

2)                підвищення точності визначення елементів і параметрів побудови.

Зрівнювання геодезичних побудов виконується в тих випадках, коли:

1)відомі вихідні дані, яких вистачає для обчислення визначуваних параметів побудови;

2 ) виконано n вимірів, причому n>k (k – число необхідних вимірів);

3) серед виміряних n елементів побудови є k величини, необхідні і достатні для відшукання визначуваних параметрів.

Основними є два способи зрівнювання:

1) параметричний спосіб (спосіб необхідних невідомих);

2) коррелатний спосіб (спосіб умов).

Окремі способи зрівнюваннями, що мають свої назви, є видозміни або різні комбінації цих способів (зрівнювання вимірів однієї величини, групове зрівнювання, параметричний спосіб з надлишковими невідомими, спосіб умов з додатковими невідомими і ін.)

При побудові геодезичних мереж на місцевості закріплюються пункти, координати і висоти яких є шуканими величинами. Як правило, при зрівнюванні геодезичних мереж параметричним способом шукані параметри приймаються:

1) координати X і Y пунктів при зрівнюванні планових мереж;

2) висоти Н пунктів при врівноваженні висотних мереж.

Параметричний спосіб зрівнювання і спосіб умов є еквівалентними за однакових додаткових умов, тобто приводять до однакових значень зрівняних елементів геодезичної побудови.

Список використаної літератури


1)      Геодезія. Підручник. Частина друга / А. Л. Островський, О. І. Мороз, В. Л. Тарнавський; За заг. ред. А. Л. Островського. Львів: Видавництво Львівської політехніки, 2008. 564 с.

2)      Вища геодезія. Підручник/ Савчук С. Г. – Житомир, 2005. – 315 с.

3)      Геодезія. Підручник. Порицький. 2007.-260с.



© 2000
При полном или частичном использовании материалов
гиперссылка обязательна.